Frattali per dimensione di Hausdorff
Aspetto
(Reindirizzamento da Lista di frattali per dimensione di Hausdorff)
In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.
Frattali deterministici
[modifica | modifica wikitesto]δ (valore esatto) |
δ (valore approssimato) |
Nome | Illustrazione | Commenti |
---|---|---|---|---|
Biforcazioni dell'equazione logistica | Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δF=costante di Feigenbaum=4.6692). | |||
Insieme di Cantor | Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile. | |||
Insieme di Smith-Volterra-Cantor | Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½. | |||
Isola di Gosper | ||||
Attrattore di Hénon | L'attrattore di Hénon canonico (con parametri and ) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1,261 ± 0,003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ. | |||
Curva di Koch | 3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch. | |||
Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake | L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendo i 3 segmenti iniziali a formare un triangolo. | |||
Polvere di Cantor in 2D | Insieme di Cantor in due dimensioni . | |||
Setaccio di Apollonio | ||||
Scatola frattale | Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati. | |||
Curva di Koch quadratica (tipo 1) | In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente. | |||
Curva di Koch quadratica (tipo 2) | Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski". | |||
Bordo della Curva del Drago | Cf. Chang & Zhang[1] | |||
Albero a 3 rami | Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1. | |||
Triangolo di Sierpiński | Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2. | |||
Curva di Sierpinski a punta di freccia | Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale. | |||
Triangolo di Tartaglia modulo 3 | In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è (Cf.Stephen Wolfram[2]) | |||
Triangolo di Tartaglia modulo 5 | Come sopra. | |||
Fiocco esagonale | Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri). | |||
Frattale H-I di Rivera | Partendo da un quadrato unitario dividendo le sue dimensioni in tre parti uguali per formare nove quadrati autosimili con il primo quadrato, due quadrati centrali (quello che si trova sopra e quello sotto il quadrato centrale) vengono rimossi in ciascuno dei sette i quadrati non eliminati il processo viene ripetuto, quindi continua indefinitamente. | |||
Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro | Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora . Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo. | |||
Fiocco pentagonale | Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. Qui è il rapporto aureo. | |||
Tappeto di Sierpinski | ||||
Polvere di Cantor in 3D | Insieme di Cantor in 3 dimensioni. | |||
Stimato | Bordo della Curva di Lévy | Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per sé possiede dimensione frattale 2.[non chiaro] | ||
Tassellatura di Penrose | Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[3] | |||
Insieme di Mandelbrot | Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2. | |||
Curva di Sierpiński | Ogni curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2. | |||
Curva di Hilbert | Costruita in maniera simile: la curva di Moore | |||
Curva di Peano | E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore. | |||
Lebesgue curve or z-order curve | Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile. | |||
Curva del Drago | Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[1]). | |||
Curva Terdragon | L-System : F-> F+F-F. angolo=120°. | |||
T-Square | ||||
Curva di Peano-Gosper | Il suo bordo è l'Isola di Gosper. | |||
Tetraedro di Sierpinski | ||||
H-fractal | Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile. | |||
2D greek cross fractal | Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti. | |||
Attrattore di Lorenz | Per precisi valori dei parametri dell'attrattore. | |||
Dodecaedro frattale | Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri. Qui è il rapporto aureo. | |||
Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione. | |||
Interstizi delle sfere di Apollonio | Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert[4]. | |||
Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione. | |||
Ipercubo di Cantor | Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff | |||
Icosaedro frattale | Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri. Qui è il rapporto aureo. | |||
Frattale a croce greca in 3D | Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni. | |||
Ottaedro frattale | Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri. | |||
Spugna di Menger | La sua superficie possiede dimensione frattale . | |||
Curva di Hilbert in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Hilbert. |
Frattali casuali e naturali
[modifica | modifica wikitesto]δ (valore esatto) |
δ (valore approssimato) |
Nome | Illustrazione | Commenti |
---|---|---|---|---|
Misurato | Costa della Gran Bretagna | |||
Bordo del moto browniano | (Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner[5]). | |||
Polimero 2D | Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval[6]). | |||
Misurato | Costa della Norvegia | |||
Misurato | Camminata casuale senza intersezioni | Camminata casuale all'interno di un quadrato, con algoritmo di "ritorno" per evitare vicoli ciechi. | ||
Polimero 3D | Simile al moto browniano all'interno di un cubo, ma senza auto-intersezioni (Cf Sapoval[6]). | |||
Moto browniano | O camminata casuale. Le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets"). | |||
Cavolfiore | Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli. | |||
Superficie polmonare | Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval[6]). |
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ a b Dimensione frattale della curva del drago
- ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984), su stephenwolfram.com. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 15 ottobre 2012).
- ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] (PDF)
- ^ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] (PDF)
- ^ G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] Archiviato il 28 settembre 2007 in Internet Archive. (PDF)
- ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
- Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
- Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
- Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su lista di frattali per dimensione di Hausdorff
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- [4][5] The fractals on Mathworld, su mathworld.wolfram.com.
- Other fractals on Paul Bourke's website, su local.wasp.uwa.edu.au. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 5 settembre 2006).
- Soler's Gallery, su soler7.com.
- Fractals on mathcurve.com, su mathcurve.com.
- 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various softwares, su 1000fractales.free.fr.
- Fractals unleashed, su library.thinkquest.org. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 23 settembre 2006).